انتگرال گیری تصادفی و معادله دیفرانسیل تصادفی رشد

معادلات دیفرانسیل برای توصیف تحول سامانه های مکانیکی، اجتماعی، اقتصادی و غیره در طی زمان، همچنین برای مدلسازی پدیده هایی که به نوعی با حرکت (تغییر) سروکار دارند به کار می روند. تنوع پدیده ها، تنوع مدلها را ایجاب می کند. در این پایان نامه ضمن بیان ضرورت استفاده از حسابان تصادفی، مفاهیم اساسی آن از جمله انتگرال ایتو، فرآیند ایتو، فرمول ایتو و انتشار ایتو را با استفاده از مفهوم حرکت براونی مطالعه می کنیم. حسابان تصادفی در مطالعه ی معادله ها ی دیفرانسیل تصادفی نقشی برجسته ایفا می کند. معادلات تصادفی رشد و برخی معادلات دیگر از قبیل معادلات سهام، معادله ی لانگوین از جمله معادلاتی هستند که در این پایان نامه مورد برسی و تحقیق قرار گرفته اند . قضیه ی وجود و یکتایی جواب این معادلات بیان و اثبات و نیز مفاهیم جواب قوی و جواب ضعیف یک معادله ی دیفرانسیل تصادفی را بیان می کنیم. به علاوه بخشی از پایان نامه به ارائه ی روش هایی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل تصادفی اختصاص یافته است. اما یک روش جایگزین برای مطالعه ی رفتار یک سامانه و حل معادله ی دیفرانسیل تصادفی مربوط به آن، حل معادله ی فاکر-پلانک مربوط به آن است. به هر معادله ی دیفرانسیل تصادفی یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تعیینی وابسته می شود که به معادله ی فاکر-پلانک موسوم است. با حل این معادله و به دست آوردن جواب آن می توان گشتاورهای سامانه را مطالعه کرد. برای به دست آوردن معادله ی فاکر-پلانک از ضرایب معادله ی دیفرانسیل تصادفی و فرمول ایتو استفاده می کنیم. در صورتی که عامل تصادف، (y(t، گاوسی نباشد، معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی متناظر با معادله ی بالا، از مرتبه ی دوم نخواهد بود. در این تحقیق با استفاده از مفاهیم مشتق کسری (ریمن-لیوویل و ریس)، انتگرال کسری، تبدیل فوریه ی کسری و لاپلاسین کسری، معادلات فاکر-پلانک کسری متناظر با یک معادله دیفرانسیل تصادفی شبه لانگوین با عامل تصادف دارای توزیع پایای لوی را به دست می آوریم و جواب حالت های خاصی از آن را ارائه می کنیم.